数系母模型：同一个数的不同语言

先找对象，不要先找写法

当我们写

$$ \frac18 = 0.125 = 12.5% $$

三个字符串并不是三个对象。它们都指向数轴上同一个位置。

真正应该形成的习惯是：

对象只有一个，表示可以很多；变换表示时，真正的数值是不变量。

所以，分数与小数互化不是一套孤立技巧，而是一次“换坐标”。

为什么需要分数

整数世界中，方程

$$ 8x=1 $$

没有整数解。把解写成 $x=\frac18$，相当于对整数系统做一次扩张。

数系不断生长的动力不是“多背一些数字”，而是旧系统对某些运算不封闭：

$$ \mathbb N \rightarrow \mathbb Z \rightarrow \mathbb Q \rightarrow \mathbb R $$

减法推动自然数扩张到整数；除法推动整数扩张到有理数；平方根等问题推动有理数扩张到实数。

为什么有的小数终止，有的循环

对最简分数 $\frac pq$，十进制能终止，当且仅当分母 $q$ 的质因数只有 2 和 5。

原因不是一条考试口诀，而是

$$ 10^n = 2^n5^n. $$

如果 $q$ 可以完全嵌入某个 $10^n$，它就有有限十进制表示；否则长除法余数会进入周期。

更一般地，长除法本身就是一个有限状态机：除以 $q$ 时，余数只有 $0,1,\ldots,q-1$ 这有限多个状态。状态要么到 0，要么重复；一旦重复，后续输出就周期性重复。

对象—变换—不变量

角色	在这个概念里是什么
对象	数轴上的数值 $x$
表示	分数、小数、百分数、根式
变换	约分、通分、进制展开、逼近
不变量	数值与数轴位置
生成问题	旧数系在哪些运算下“不够用”？

这个网页版本对应仓库中已有的《同一个数的不同语言与数轴母模型》，但不再只把它当文章，而是把它变成可以继续挂接实验的入口。