三角形中心：从 84,000 个事实压缩成几个生成器
重心、内心、外心、垂心不应该被当作四个要背的名词。它们展示的是：同一个三角形施加不同结构，就会诱导不同的中心。
中心不是名单，而是生成器
拖动 A、B、C。观察四种“中心”如何由不同结构持续重新生成。
84,000 个中心有没有教育意义？
有数据库意义，但几乎没有“应该背下来”的教育意义。
Triangle Centers Encyclopedia 可以持续收录大量满足特定定义的中心。对研究者，它像索引系统：一个新构造是否已有名字、有哪些已知关系，可以查表。
但对学生真正重要的问题不是：
第 37852 个中心叫什么？
而是：
为什么中心可以有这么多？什么结构一旦给定，就会生成一个中心？
从这里开始，数学由数据库变成生成系统。
四个中心已经足够打开门
重心 $G$
连接顶点与对边中点，三条中线交于一点。
如果把顶点当作等质量点，
$$ G=\frac{A+B+C}{3}. $$
它最值得学习的不是“中线交一点”，而是 average / affine combination 这条母结构。它会继续通向质心、加权平均、期望值。
内心 $I$
三条角平分线交于一点。$I$ 到三条边的距离相等，因此它是内切圆圆心。
这里出现的结构不是“平均”，而是角与距离约束。
外心 $O$
三边的垂直平分线交于一点。$O$ 到三个顶点距离相等，因此它是外接圆圆心。
这里的生成器是等距与正交。
垂心 $H$
三条高线交于一点。
它同样依赖正交结构，但与外心的构造方向不同：一个从“边的垂直平分”进入，一个从“顶点对边作垂线”进入。
重要的压缩：中心是映射
可以把一个三角形看成对象 $T$，把“取某种中心”看成映射
$$ F:T\mapsto P. $$
不同的 $F$ 给出不同的点：
$$ F_{median}(T)=G,\qquad F_{angle}(T)=I, $$
$$ F_{equidistance}(T)=O,\qquad F_{orthogonal}(T)=H. $$
这样，“很多中心”不再意味着“很多孤立事实”，而意味着我们拥有一个很大的函数空间。
Bootstrap 的真正含义
数学学习真正要安装到脑子里的，不是越来越大的事实数据库，而是一小组可复用机制：
- 定义对象；
- 指定允许的变换；
- 找在变换中保持不变的量；
- 用这些结构继续生成新对象；
- 比较两个构造是否其实是同一个结构的不同表示。
因此可以把“84,000 个中心”的教育意义压缩成一句话：
对象数量可以爆炸，但生成它们的语法可能很短。
普通学生知道三五个中心完全够用，但必须真正理解这三五个中心是怎么被生成出来的。